Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足定理所需条件；
（2）先根据线面垂直的判定定理证出B1C⊥平面ABC1D1，而BD1⊂平面ABC1D1，根据线面垂直的性质可知B1C⊥BD1，而EF∥BD1，根据平行的性质可得结论；
（3）可先证CF⊥平面EFB1，根据勾股定理可知∠EFB1=90°，根据等体积法可知=V C-B1EF，即可求出所求．
【解析】
（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则
平面ABC1D1．
（2）
（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，
∵，，

∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°，
∴
==