Question

设点P在曲线y=x²上，从原点向A（2，4）移动，如果直线OP，曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁、S₂．
（Ⅰ）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标和最小值．

Answer

（Ⅰ）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2
当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫t（tx-x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以，
S2=∫t2（x2-tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．
【解析】
（Ⅰ）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），
直线OP的方程为y=tx                                 
S1=∫t（tx-x2）dx=，S2=∫t2（x2-tx）dx=，
因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为（，）            
S=S1+S2==
  S′=t2-2，令S'=0得t2-2=0，t=              
 因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0                
所以，当t=时，Smin=，P点的坐标为 （，2）．