Question

已知函数f（x）=x-1-lnx
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：当n∈N⁺时，．

Answer

（1）先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，通过列表求出极值及最小值即可．
（2）先根据f（x）≥0，当x=1时取等号，从而得到x-1≥lnx，令，得出利用此式进行求和放缩即得所证明不等式．
【解析】
（2分）
（1）

x （0，1） 1 （1，+∞）
f（x） - …（4分）
+
f（x） 递减 极小值为0 递增

f（x）最小值为0，当x=1时取到（1分）
（2）∵f（x）≥0，当x=1时取等号
∴x-1≥lnx，令，
∴（4分）
∴（2分）
∴（2分）