Question

设函数f（x）=x³-3x²+2x，若过f（x）图象上一点P（x，y）（x≠0）的切线为l：y=kx，求k的值和P的坐标．

Answer

由原点的坐标代入函数解析式中判断出原点在函数图象上，根据题意可知切点P（x，y），求出函数的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线的斜率，又根据点P和原点两点坐标表示出切线的斜率，两者相等得到P横纵坐标的关系式，记作①，又因为P在函数图象上，把P点坐标代入函数关系式中得到另外一个关于P横纵坐标的关系式，记作②，联立①②即可求出P的横坐标，即可得到切线的斜率，根据求出的斜率．
【解析】
易见O（0，0）在函数y=x3-3x2+2x的图象上，y′=3x2-6x+2，但O点未必是切点．
根据题意可知切点为点P（x，y），
∵y′=3x2-6x+2，
∴切线斜率为3x2-6x+2，又切线过原点，
∴=3x2-6x+2即：y=3x3-6x2+2x①
又∵切点A（x，y）y=x3-3x2+2x的图象上，
∴y=x3-3x2+2x②
由①②得：x=0或x=，
∴切线的斜率为．
∴．