Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求证：{lga_n}是等差数列；
（2）设对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer

（1）依题意可求得a2的值，进而求得的值，进而看当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1求得判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得an，进而分别表示出lgan和lgan+1，根据lgan+1-lgan=1，判断出lgan}n∈N*是等差数列．
（2）根据（1）中求得an利用裂项法求得Tn，进而根据3-≥，进而根据求得m的范围．判断出m的最大正整数．
【解析】
（1）依题意，，
当n≥2时，an=9Sn-1+10①又an+1=9Sn+10②
②-①整理得：为等比数列，
且an=a1qn-1=10n，∴lgan=n∴lgan+1-lgan=（n+1）-n=1，
即{lgan}n∈N*是等差数列．
（2）由（1）知，
=∴，
依题意有，
故所求最大正整数m的值为5．