(1)先利用条件①得对称轴方程求得b=2a;再利用条件②求出b和a之间的另一关系式,联立即可求 f(x)的解析式;
(2)先利用π>1把原不等式转化为+x>tx-2在t∈[-2,2]时恒成立,再把问题转化为一次函数的恒成立问题即可求实数x的取值范围.
【解析】
(1)∵由①f(x)=ax2+bx(a≠0)的对称轴方程是x=-1,
∴b=2a;
∵函数f(x)的图象与直线y=只有一个公共点,
∴有且只有一解,
即ax2+(b-1)x=0有两个相同的实根;
故△=(b-1)2=0⇒b=1,a=,
所以f(x)=+x.
(2)∵π>1∴⇔f(x)>tx-2.
因为+x>tx-2在t∈[-2,2]时恒成立等价于
函数g(t)=xt-(x2+x+2)<0,t∈[-2,2]时恒成立;
∴⇒⇒x<-3-,x>-3+
故实数x的取值范围是(-∞,-3-)∪(-3+,+∞).