已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）．（Ⅰ）若f（x）在x=0...

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明： manfen5.com 满分网

．

（Ⅰ）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；（Ⅱ）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（Ⅲ）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．【解析】（Ⅰ），因为x=0是f（x）的一个极值点，∴f'（0）=0，∴a=0验证知a=0符合条件．------------2分（Ⅱ）因为 1）若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减； 2）若，∴f（x）在R上单调递减； 3）若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0∴∴，在；综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，若-1＜a＜0时，，若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．---------8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x2）＜x ∴ ∴---------------------13分

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考点分析：

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有时可用函数f（x）= manfen5.com 满分网

，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

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