Question

设直线y=kx+1与圆C：x²+y²-2kx-2my-7=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，
（Ⅰ）求m，k的值；
（Ⅱ）若直线x=ay+1与C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1，根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）代入可求m
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）2+（y+1）2=9得（1+a2）y2+2y-8=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，若OP⊥OQ，则有x1x2+y1y2=0，代入整理可求
【解析】
（Ⅰ）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1
∵根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）
∴m=-1
（Ⅱ）把x=ay+1代入（x-1）2+（y+1）2=9得（1+a2）y2+2y-8=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
若OP⊥OQ，则有x1x2+y1y2=（ay1+1）（ay2+1）+y1y2=（1+a2）y1y2+a（y1+y2）+1=
即7a2+2a+7=0，方程无实数根，所以满足条件的实数a不存在．