Question

在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求的最大值．

Answer

（1）分别令n=2，3代入an+1=-an+3n，即可求得a2，a3的值；
（2）由an+1=-an+3n，变形得an+1-=-（an-），得到数列{an-}是等比数列，根据等比数列通项公式的求法，可求得该数列的通项公式，进而可以求出数列{an}的通项公式；
（3）将（2）求得的结果代入，对n分奇偶讨论，借助数列的单调性即可求得的最大值．
【解析】
（1）由a1=0，且an+1=-an+3n（n=1，2，3）
得a2=-a1+3=3，
a3=-a2+32=6．
（2）由an+1=-an+3n变形得
an+1-=-（an-），
∴{an-}，是首项为a1-=-公比为-1的等比数列
∴an-=-（-1）n-1
∴an=+（-1）n•（n=1，2，3…）
（3）①当n是偶数时
=
∴随n增大而减少
∴当n为偶数时，最大值是．
②当n是奇数时
=
∴随n增大而增大且
综上最大值为．