Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．根据等腰三角形三线合一的性质可得PO⊥AC，PO⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取PA的中点N，连接MN，由三角形中位线定理可得MN∥AD，则∠NMC就是异面直线AD与CM所成角，解三角形NMC即可得到异面直线AD与CM所成角的余弦值．
证明：（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中点，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
【解析】
（Ⅱ）取PA的中点N，连接MN，则MN∥AD，
则∠NMC就是所求的角，
根据题意得
所以，
故