Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4，
（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值．

Answer

（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．
（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．
（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．
【解析】
（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．
（1）易得=（0，，1），
=（0，2，-4）．
于是cos＜，＞==．
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．
（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（-1，，4），=（-1，，0），
于是=0，=0．
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．
又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．
（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则
即
不妨令x=1，可得u=（1，2，-1）．
由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．
于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．
二面角A1-ED-F的正弦值是