Question

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接运用点到直线的距离公式，然后求解即可得到答案．
（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解．（3）属于新定义的题目，可以用函数求导数求最值的方法解答．
【解析】
（1）因为f（x）=a2x2，所以f′（x）=2a2x，令f′（x）=2a2x=1
得：，此时，
则点到直线x-y-3=0的距离为，
即，解之得．
（2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，
令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a2＜0（a＞0），
所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），
则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解
故解之得．
（3）设，
则．
所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．
因此时，F（x）取得最小值0，
则f（x）与g（x）的图象在处有公共点．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，
方程为，即，
由在x∈R恒成立，
则在x∈R恒成立．
所以成立，
因此．
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．
因此时G（x）取得最大值0，则成立．
故所求“分界线”方程为：．