Question

设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值．

Answer

（1）设出直线l的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出x1+x2，利用直线方程表示出y1+y2，然后利用求得的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式，P点轨迹可得．
（2）根据点P的轨迹方程求得x的范围，利用两点间的距离公式求得||，利用二次函数的性质和x的范围求得其最大和最小值．
【解析】
（1）直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1．
记A（x1，y1）、B（x2，y2），由题设可得点A、B的坐标是方程组
的解．
将①代入②并化简得，（4+k2）x2+2kx-3=0，所以，
于是．
设点P的坐标为（x，y），则消去参数k得4x2+y2-y=0③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方
程为4x2+y2-y=0．
（2）【解析】
由点P的轨迹方程知，即．所以
故当，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，
最大值为．