Question

学习了圆锥曲线及其方程后，对于一个一般的二元二次方程：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0（A，C，D，E，F为常数），请你写出一个它分别表示
①直线； ②圆； ③椭圆； ④双曲线； ⑤抛物线的必要条件．

Answer

①方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示直线，必有A=C=0，D，E不全为零； 或A•C＜0，D，E，F全为零，利用充要条件的判定方法判定即可．
②方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，必有A=C≠0，B=0并且D2+E2-4F＞0，利用充要条件的判定方法判定即可．
③方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示椭圆，必有，利用充要条件的判定方法判定即可．
④方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示双曲线，必有A•C＜0，，利用充要条件的判定方法判定即可．
⑤方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示抛物线，必有A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0，利用充要条件的判定方法判定即可．
【解析】
①方程表示直线，其二次项系数必为0或可分解成两个一次因式的积的形式，故其必要条件：A=C=0，D，E不全为零； 或A•C＜0，D，E，F全为零；
②方程表示圆，其二次项系数必须相等且不为0，故其必要条件：A=C，D2+E2-4AF＞0；
③方程表示椭圆其二次项系数必须同号，故必要条件：；
④方程表示双曲线其二次项系数必须异号，故必要条件：A•C＜0，；
⑤方程表示抛物线其二次项系数必须有一个为0，另一个不为0，故必要条件：A=0且CD≠0； 或C=0且AE≠0．