Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值．

Answer

（1）连接AC，交BD于点O，连接MO，由三角形中位线定理易得MO∥PA，进而由线面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；
（2）利用等体积法，根据VM-ADC=VC-ADM，我们分别计算出S△ADC，点M到面ADC的距离h1，S△ADM的大小，即可求出C点到平面ADM的距离，进而求出直线AC与平面ADM所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接MO
因为MO是△PAC的中位线，
所以MO∥PA
又因为PA⊄面BDM，MO⊂面BDM
所以PA∥平面BDM
（2）因为S△ADC=，点M到面ADC的距离h1=，所以VM-ADC==．
因为△PDC为等腰三角形，且M为PC的中点，所以DM⊥PC．
取PB的中点E，AD的中点N，连接ME，PN，NE，BN
因为四边形DMEN为平行四边形
所以DM∥NE
又因为△PNB为等腰三角形，所以NE⊥PB
所以DM⊥PB．
因为DM⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P
所以DM⊥面PBC．
所以DM⊥BC．
因为BC∥AD
所以AD⊥DM，因为DM=
所以S△ADM==
所以VM-ADC=VC-ADM=S△ADM×h2×
所以h2=
所以sinθ=