Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，若|AF₁|=，|AF₂|=，
（1）求曲线C₁和C₂的方程；
（2）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．

Answer

（1）因为在椭圆中2a=|AF1|+|AF2|==6，所以可求曲线C1方程．，因为曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点．|AF1|=，|AF2|=，所以利用抛物线定义，可求，曲线C2方程．
（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F2作的与x轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求的值，看结果是否为定值．
【解析】
（1）设椭圆方程为，则2a=|AF1|+|AF2|==6，得a=3
设A（x，y），F1（-c，0），F2（c，0∵|AF1|=，|AF2|=则
    ，两式相减得xc=，由抛物线定义可知，|AF2|=x+c=
则c=1，x=或x=1，c=（舍去）
所以椭圆方程为         抛物线方程为y2=4x
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
设过F2作一条与x轴不垂直的直线方程为y=k（x-1），代入，
得（8+9k2）y2+16ky-64k2=0
∴y1+y2=-，y1y2=
同理，把y=k（x-1）代入y2=4x，得，ky2-4y-4k=0，y3+y4=，y3y4=-4
   所以 =•=
===3