Question

设椭圆过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交与两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足=λ，证明：点Q的轨迹与λ无关．

Answer

（Ⅰ）先根据离心率求得c，a的关系，则根据a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得；
（Ⅱ）先设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设=λ．又P，A，Q，B四点共线，可得结合A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，得到2x+y-2=0最后根据点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．
解（Ⅰ）由题意解得a2=4，b2=2，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设=λ．
又P，A，Q，B四点共线，可得，
于是（1）（2）
由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程x2+2y2=4，
整理得（x2+2y2-4）λ2-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x2+2y2-4）λ2+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．即点Q的轨迹与λ无关．