Question

已知点M（1，y）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，由此能求出抛物线方程．
（Ⅱ）联立，消x并化简整理得y2+8y-8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-8，y1y2=-8b，设圆心Q（x，y），则应有．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y|=4，由此能够推导出圆的方程．
（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，直线l：整理得x+2y-2b=0，点O到直线l的距离，所以．由此能够求出AOB的面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，
由抛物线定义和已知条件可知，
解得p=2，故所求抛物线方程为y2=4x．
（Ⅱ）联立，消x并化简整理得y2+8y-8b=0．
依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞-2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-8，y1y2=-8b，
设圆心Q（x，y），则应有．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y|=4，
又．
所以，
解得．
所以，所以圆心为．
故所求圆的方程为．
（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，
又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞-2，所以-2＜b＜0，
直线l：整理得x+2y-2b=0，
点O到直线l的距离，
所以．
令g（b）=b3+2b2，-2＜b＜0，，

b
g'（b） + -
g（b） 极大

由上表可得g（b）最大值为．
所以当时，△AOB的面积取得最大值．