Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性质P？并说明理由．
（Ⅱ）若n=1000时
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

Answer

（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}，根据性质P的定义可知其不具有性质P；C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}，令m=1＜10，利用性质P的定义即可验证|c1-c2|≠1；（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}，①根据T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x∈T，其中x∈S，可得1≤2001-x≤2000，利用性质P的定义加以验证即可说明集合T={2001-x|x∈S}具有性质P；②设集合S有k个元素．由第①问知，任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P的定义进行分析即可求得k+t≤2000，即，解此不等式得k≤1333．
【解析】
（Ⅰ）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．（1分）
因为对任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立．（2分）
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．（3分）
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1．（4分）
（Ⅱ）当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2000}
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．（5分）
首先因为T={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x∈T，其中x∈S，
因为S⊆A，所以x∈{1，2，3，…，2000}，
从而1≤2001-x≤2000，即t∈A，所以T⊆A．（6分）
由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，
使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m．
对于上述正整数m，
从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S，
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P．（8分）
②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2000，则x与2001-x中必有一个不超过1000，
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，
不妨设S中有t个元素b1，b2，…，bt不超过1000．
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，
使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，
所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+m∉S．
又bi+m≤1000+1000=2000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此k+t≤2000，所以，得k≤1333，
当S={1，2，…，665，666，1334，…，1999，2000}时，
取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，
都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，
而此时集合S中有1333个元素．
因此集合S元素个数的最大值是1333．（14分）