Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击，若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（1）求这名射手在三次射击中命中目标的概率；
（2）求这名射手比赛中得分的均值．

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，记出事件，射手在三次射击中命中目标包括射击一次命中目标，射击两次第二次命中目标，射击三次只有第三次命中目标，根据事件写出概率．
（2）要求射手比赛中得分的均值，先要求得分的分布列，由题意知射手甲得分为ξ，它的取值是0、1、2、3，看出变量取值不同时对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
【解析】
记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C三次均未命中目标的事件为D．
依题意．
设在xm处击中目标的概率为P（x），则，
由x=100m时，
∴，
∴k=5000，
，，，
．
（Ⅰ）由于各次射击都是独立的，
∴该射手在三次射击击中目标的概率为，

=．
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，
则，
，

，
∴ξ的分布列为

∴．