Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

Answer

（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOA•kOB=-1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．
（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|AB|•|y1-y2|．
【解析】
（1）由方程y2=-x，y=k（x+1）
消去x后，整理得
ky2+y-k=0．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=-1．
∵A、B在抛物线y2=-x上，
∴y12=-x1，y22=-x2，y12•y22=x1x2．
∵kOA•kOB=•===-1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，
∴令y=0，则x=-1，即N（-1，0）．
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|•|y1-y2|，
∴S△OAB=•1•
=．
∵S△OAB=，
∴=．解得k=±．