Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，其边长为2，E、F分别是AD，A₁B₁的中点，G、H是BB₁，BC的两个动点，
（1）若直线FG与EH相交于点P，求证：P∈AB
（2）在（1）的条件下，若G是BB₁，的中点，求GH的长．

Answer

（1）可通过证明点P∈面AB1，P∈面AC，故点P在两个平面的交线上证明点在线上；
（2）先在图形中找到线段GH，观察其所在的位置，将其纳入三角形GBH中，用勾股定理求解其值．
【解析】
（1）证：由题，FG∩EH=P
又FG⊂面ABB1A1，EH⊂面ABCD
∴P∈面AB1，P∈面AC
又面AB1∩面AC=AB，由公理三知，P∈AB
（2）因G为中点，且FB1∥BP，所以Rt△FGB1≌Rt△GBP
所以BP=FB1=1，
又△BPH∽△APE，所以BH=×AE=，
在Rt△GBH中，GH===
即GH的长为