Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

Answer

（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．
（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．
【解析】
（1）依题意可设椭圆方程为，
则右焦点F（）由题设
解得a2=3故所求椭圆的方程为；
（2）设P为弦MN的中点，由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0
由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①
∴从而
∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
则即2m=3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．
故所求m的取范围是（）．