Question

设数{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）由（1）中结论，可得 ，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），
两式相减得an+1-an=2an，
an+1=3an（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n-1．
由点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，所以bn+1-bn=2．
则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
则bn=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为 ，所以 ．
则 ，
两式相减得：．
所以 =．