Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即
又由f（1）=-f（-1）知．
所以a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0
等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2-2t＞k-2t2．
即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜-．