Question

已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），而T_n为数列的前n项和，求T_n．

Answer

（1）已知前n项和与通项的关系，可以再写一式，两式相减，从而构建新数列{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列，进而求出通项；（2）先分析出通项的特点，再用错位相减法求和．
【解析】
（1）当n∈N*时，Sn=2an-2n，①则当n≥2，n∈N*时，Sn-1=2an-1-2（n-1）．②
①-②，得an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2，∴an+2=2（an-1+2）∴=2．
当n=1 时，S1=2a1-2，则a1=2，当n=2时，a2=6，∴{an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+2=4•2n-1，∴an=2n+1-2，（7分）
（2）由bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，得，
则Tn=，③，④
③-④，得
=
=
=
∴Tn=（14分）