Question

一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f（x）的值域为（-1，1）；
乙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f₁（x）），则f_n（x）=，对任意的n∈N^*恒成立
你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

Answer

利用奇函数的定义判断出f（x）为奇函数，通过对x的分段讨论去掉绝对值转化为分段函数，讨论x≥0的值域、单调性判断出甲、乙说的对利用已知的递推关系求出fn（x），判断出丙的说法不对．
【解析】
∵f（-x）-f（x）
∴f（x）为奇函数
∵
当
∵f（x）为奇函数，
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）
总之，f（x）∈（-1，1）
故甲对
当为增函数，
∵f（x）为奇函数
∴当x＜0是，f（x）∈（-1，0）为增函数
所以f（x在（-1，1）上为增函数
故乙对
fn（x）=f（f1（x））=f（f（x）==不恒成立
故丙不对
故选B