Question

已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式．

Answer

（1）由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论．
（2）由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而根据f（1）=1，得到f（2）=2，根据f（x+y）=f（x）+f（y）成立，将问题转化为一个关于x的整式不等式，进行得用根轴（标根法/穿针引线）法，解不等式得到答案．
【解析】
（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
不妨设x=y=0，则f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
⇒f（x）+f（-x）=0
⇒f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
不等式化为（*）
∵当x≠y时，f（x）≠f（y），
x＞0时，有f（x）＞0，
设x2＞x1＞0则：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（x2）-f（x1+x2）=f（2x2）+f（-x1-x2）=f（x2-x1），又x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞0
即f（x2）-f（x1）＞0⇒f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，
∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
于是f（x）在R上为增函数．
根据（*）式不等式化为：⇒（x-1）（x2-3x+1）＞0，
利用穿针线法得：
不等式的解集为：．