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设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数. (1)求f(...

设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数manfen5.com 满分网
(1)求f(α)、f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当α为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
(1)先利用根与系数的关系求出α与β的关系,然后将f(α)与f(β)中的α与β消去即可; (2)设Φ(x)=2x2-ax-2,则当a<x<β时,Φ(x)<0,利用f'(x)的符号进行判定函数的单调性即可; (3)根据(2)可知函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,而|f(α)•f(β)|=4,则当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)取最小值,从而得到结论. 【解析】 (1). (2)设Φ(x)=2x2-ax-2,则当a<x<β时,Φ(x)<0.=- ∴函数f(x)在(α,β)上是增函数. (3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0, ∵|f(α)•f(β)|=4, ∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.
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考点分析:
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试题属性
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