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高中数学试题
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定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x(a<x<b),满...
定义:如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x
(a<x
<b),满足
,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x
是它的一个均值点.如y=x
4
是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x
2
+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是
.
函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数,故有-x2+mx+1=在(-1,1)内有实数根,求出方程的根,让其在(-1,1)内,即可求出实数m的取值范围. 【解析】 )∵函数f(x)=-x2+mx+1是区间[-1,1]上的平均值函数, ∴关于x的方程-x2+mx+1=在(-1,1)内有实数根. 由-x2+mx+1=⇒x2-mx+m-1=0,解得x=m-1,x=1. 又1∉(-1,1) ∴x=m-1必为均值点,即-1<m-1<1⇒0<m<2. ∴所求实数m的取值范围是0<m<2. 故答案为:0<m<2.
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考点分析:
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1
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4
+a
2
(x-1)
3
+a
3
(x-1)
2
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4
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2
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