Question

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（1）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（2）若C的方程为（如图），求证：x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究x_E和x_F经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．

Answer

（1）求出PM 直线的方程，令y=0，求出xE，同理求得xF ．
（2）由（1）可知：．把M，P坐标代入椭圆的方程，求出n2，y2  代入
xE•xF的式子，化简可得结论．
（3）第一层次：①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．证法同（2）．
②点P是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．证法同（2）．
第二层次：点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
【解析】
（1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以，N（m，-n），
则． 令y=0，则．
同理可得：．
（2）由（1）可知：．∵M，P在椭圆C：上，
∴，
则（定值）
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
（3）第一层次：
①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在圆C：x2+y2=R2上，
∴n2=R2-m2，y2=R2-x2，则，
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
②点P是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
 直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在双曲线C：上，
∴，
则
∴xE•xF是与MN和点P位置无关的定值．
第二层次：
点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
证明如下：由（1）知：，∵M，P在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，
∴y2=2px，n2=2pm，则，
∴xE+xF是与MN和点P位置无关的定值．