Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点
（1）求证：D₁B₁⊥AE；
（2）求D₁B₁与平面ABE所成角θ的正弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出，利用向量的数量积公式求出它们的数量积为0，利用向量垂直的充要条件得到D1B1⊥AE；
（2）平面ABE的法向量，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，其绝对值即为D1B1与平面ABE所成角θ的正弦值．
【解析】
（1）如图建立空间直角坐标系
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（02，0），E（0，2，1），D1（0，0，2），B1（2，2，2）
所以
∵
∴
∴D1B1⊥AE
求出（2）设平面ABE的法向量
∵
∴
解得
∴
∴