Question

如图，已知F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则=    ；椭圆C的离心率为    ．

Answer

本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1，由此易得的值，并由此得到椭圆C的离心率．
【解析】
连接OQ，F1P如下图所示：
则由切线的性质，则OQ⊥PF2，
又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点
∴OQ∥F1P
∴PF2⊥PF1，
∴=0
故|PF2|=2a-2b，
且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
得4c2=4b2+4（a2-2ab+b2）
解得：b=a
则c=
故椭圆的离心率为：
故答案为：0，．