Question

已知函数满足ax-f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列a_n满足，，证明数列b_n是等比数列，并求出b_n的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1，n∈N⁺．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）满足ax-f（x）=2bx+f（x），易得f（x）=；又由f（1）=1，且f（x）=2x只有一解，可得a、b的值；从而得f（x）的表达式．
（Ⅱ）由an+1=f（an），可得an+1=，整理得，数列{-1}是等比数列；且通项公式an=，从而得bn的通项公式．
（Ⅲ）由an、bn的通项公式，易得anbn的表达式为：，即得a1b1+a2b2+…+anbn=++…+，通过放缩即可证得．
【解析】
（Ⅰ）由ax-f（x）=2bx+f（x），（其中x≠，a≠0），得f（x）=；
由f（1）=1，得a=2b+1①；
又f（x）=2x只有一解，即=2x，也就是2ax2-2（1+b）x=0（其中a≠0）只有一解，
∴4（1+b）2-4×2a×0=0，∴b=-1；
代入①，得a=-1；故f（x）=．
（Ⅱ）∵a1=，an+1=f（an），∴an+1=，即=；∴-1=，
∴数列{-1}是以-1=为首项，为公比的等比数列；∴an=；
∵bn=-1=-1=（n∈N*），∴=（n∈N*）；
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为：bn=．
（Ⅲ）∵anbn=an（-1）=1-an=1-=，
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+＜++…+==1-＜1（n∈N*），即证．