Question

已知关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数y₂=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁≥y₂均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y₃=ax²+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y₁≥y₃≥y₂均成立．求二次函数y₃=ax²+bx+c的解析式．

Answer

（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①m=0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②m≠0，此时方程为二元一次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．
（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；
②此题可用作差法求解，令y1-y2，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．
（3）根据②的结论，易知y1、y2的交点为（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（-5，0）的坐标，可用a表示出y3的函数解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y=y3-y2，可得到y的表达式，由于y3≥y2，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．
【解析】
（1）分两种情况：
当m=0时，原方程化为3x-3=0，解得x=1，
∴当m=0，原方程有实数根．（1分）
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0．
∴原方程有两个实数根．
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根．（3分）
（2）①∵关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
∴3（m-1）=0．∴m=1．∴抛物线的解析式为y1=x2-1…（5分）
②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，
∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）．…（6分）

（3）由②知，当x=1时，y1=y2=0．∴y1、y2的图象都经过（1，0）．
∵对于x的同一个值，y1≥y3≥y2，
∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1，0）．（7分）
又∵y3=ax2+bx+c经过（-5，0），∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a．
设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）．
∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，

∴y3-y2≥0，
∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0．

又根据y1、y2的图象可得 a＞0，
∴．
∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0．∴（3a-1）2≤0．
而（3a-1）2≥0．只有3a-1=0，解得．
∴抛物线的解析式为…（10分）