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已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=2 (1)若圆C的切线在x轴和y轴的截距相...

已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=2
(1)若圆C的切线在x轴和y轴的截距相等,求此切线的方程
(2)从圆外一点P(x,y)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取最小值时点P的坐标.
(1)当截距不为零时:设切线方程为,根据圆心到切线的距离等于半径求出a的值,即得切线方程, 当截距等于零时:设切线方程为y=kx(k≠0),同理可得,从而得到圆的所有的切线方程. (2)有切线的性质可得|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|,可得2x-4y+3=0.动点P在直线2x-4y+3=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,过点O作直线2x-4y+3=0的垂线,垂足为P,垂足坐标即为所求. 【解析】 (1)当截距不为零时:设切线方程为,即:x+y=a(a≠0), 圆C为:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心为C(-1,2),到切线距离等于圆的半径 所以. 当截距等于零时:设切线方程为y=kx(k≠0),同理可得. 所以所求切线方程为:x+y+1=0,或x+y-3=0,或或. (2)∵PM⊥CM,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,整理得:2x-4y+3=0. 即动点P在直线2x-4y+3=0上,所以,|PM|的最小值就是|PO|的最小值, 过点O作直线2x-4y+3=0的垂线,垂足为P,kOP=-2 解方程组,得  ,所以点P坐标为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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