Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a₁，a₂的不同的直线l₁，l₂，分别交椭圆与A，B，C，D，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，求证：a₁+a₂=180°．

Answer

（1）由题意得出关于参数a，b，c的方程组，解之得a，b，c的值，最后写出椭圆的方程即可；
（2）设过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a1，a2的不同的直线l1，l2，的参数方程分别为：l1：；l2：．将直线l1：的参数方程代入椭圆方程结合参数t的几何意义得：|PA|•|PB|=-t1t2=-，同理得：|PC|•|PD|=-．最后利用|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，即可得到a1+a2=180°．
【解析】
（1）由题意得：
 解之得：
∴椭圆的方程为：．
（2）设过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a1，a2的不同的直线l1，l2，的参数方程分别为：
l1：；l2：．
将直线l1：的参数方程代入椭圆方程得：
3（1+tcosa1）2+4（1+tsina1）2-12=0，
化简整理得：（3cos2a1+4sin2a1）t2+（6cosa1+8sina1）t-5=0，
根据参数t的几何意义得：|PA|•|PB|=-t1t2=-，
同理得：|PC|•|PD|=-．
由于|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，故有：=，
∴cos2a1=cos2a2，sin2a1=sin2a2
∴a1+a2=180°．