Question

设函数f（x）=lnx+（1-m）x^-1+2m-1-mx（m＞0）
（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）证明：≥lnn（n∈N^*且n≥2）．

Answer

（1）当x≥1时，若f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）是减函数即可，此时利用f′（x）＜0恒成立，从而得到m的范围．
（2）令m=，得到不等式lnx，再令，得到，从而再求和即证．
【解析】
（1）∵当x≥1时，f（1）=0，要使f（x）≤0恒成立，只要函数f（x）在x≥1是减函数即可，
故有f′（x）=--m≤0，∴m（1- ）≥-，∴m≥．
由x≥1可得≤，故当 m≥，f（x）≤0恒成立．故实数m的取值范围为[，+∞）．
（2）证明：令m=，由（1）可得lnx，即lnx2
令，∴，
∴≥ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…+lnn-ln（n-1）=lnn（n∈N*且n≥2）
即≥lnn（n∈N*且n≥2）．即证．