Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线m交抛物线于点A、B，则△AOB是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定

Answer

①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），联立不平为线方程可得k2x2-x（2k2+4）+k2=0．即可利用韦达定理得到=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2，
所以=-3＜0．②可得=-3＜0．由以上即可得到答案．
【解析】
①抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），代入y2=4x，
得k2x2-x（2k2+4）+k2=0．
设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
根据韦达定理，有x1+x2=，x1x2=1．
因为=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2，
所以=-3＜0，
所以∠AOB为钝角，则△AOB是钝角三角形．
②当斜率不存在时，A（1，2），B（1，-2），所以可得=-3＜0，
所以∠AOB为钝角，则△AOB是钝角三角形．
故选C．