Question

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；
（II）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（III）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件，甲试跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前两次试跳不成功，而第三次试跳才成功，记出事件，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功且乙成功，甲成功且乙不成功，三种结果，这三种事件之间是互斥关系，根据互斥事件和相互独立事件的概率，得到结果．
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次表示甲成功两次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，两种结果，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．
【解析】
记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1、
依题意得P（A1）=0.7，P（B1）=0.6，且A1，B1（i=1，2，3）相互独立、
（I）“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，
∴P（A3）=P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063
即甲第三次试跳才成功的概率为0.063．

（II）甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
解法一：C=A1彼此互斥，
∴P（C）=
=
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88

解法二：P（C）=1-=1-0.3×0.4=0.88．
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88

（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N+M2N1，且M1N、M2N1为互斥事件．
∴所求的概率为P（M1N+M2N1）=P（M1N）+P（M2N1）=P（M1）P（N）+P（M2）P（N1）
=C21×0.7×0.3×0.42+0.72×C21×0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024．
即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．