Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求的值．

Answer

（1）根据题中已知条件化简公式可得出与的关系，即可证明数列是等差数列；
（2）根据（1）中求得的与的关系，即可求出的表达式，进而求出数列{an}的通项；
（3）根据数列{an}的通项先求出的表达式，然后求出前n项和的表达式，进而可以求出的值．
【解析】
（1）∵（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2
∴（2n-1）an-（2n+1）an-1=8n2-2
即…（4分）
∵，
∴是以1为首项，2为公差的等差数列  …（5分）
（2）∵，
∴an=4n2-1…（9分）
（3）∵…（11分）
∴…（12分）
∴=…（14分）