Question

在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和；
（4）求展开式的有理项．

Answer

观察题设及四个问题，知本题是考查二项式系数的性质与等差数列性质的题，由前三项系数成等差数列建立方程求出n，
（1）由二项展开式的项的公式求出第四项；
（2）由二项展开式的项的公式，令x的指数为0即可求出常数项；
（3）可令二项式中的变量为1，计算可得二项式各项的系数和；
（4）令二项展开式中x的指数为整数即可求出所有的有理项．
【解析】
因为第一、二、三项系数的绝对值分别为Cn，，
∴
∴n2-9n+8=0
解得n=8．
（1）第四项 =-7
（2）通项公式为 ，
令 ，得r=4
所以展开式中的常数项为
（3）令二项式中的x=1，则有展开式中各项的系数和为=…（10分）
（4）通项公式为 ，考察x的指数知，r=1，4，7时，x的指数为整数，即：
T2=-4x2，，此三项为展开式中的有理项…（14分）