Question

如图，椭圆C：的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，，|A₁B₁|=，S_▱A1B1A2B2=2S_▱B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，且，是否存在上述直线l使=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆的几何性质知a2+b2=7，由已知条件得知a=2c，从而解得a，b即求出其方程．
（Ⅱ）考虑两种情况，一是l与x轴垂直，结合条件判断得知此时符合题意；二是l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+m，由，得知m2=k2+1，再由和得知OA⊥OB，即找到x1x2+y1y2=0，然后直线和椭圆联解得到m与k的第二个关系式，联解知无解．所以第二种不符合题意．故只有第一种符合题意．因此存在直线l满足条件．
【解析】
（Ⅰ）由知a2+b2=7，①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c，②
又b2=a2-c2                   ③
由 ①②③解得a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
若l垂直于x轴时，p点即是右焦点（1，0），此时不满足，直线l的方程不存在．
若l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1  ④
∵，，得知OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
，，
又y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=，代入x1x2+y1y2=0中得7m2-12k2-12=0．⑤
由④⑤可知无解．所以此时l不存在．
故不存在直线方程使成立．