Question

已知函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．

Answer

（1）函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，可得a3-1=4，由此求出a；
（2）本题要根据指数函数的单调性比较大小，要解决两个问题一是自变量的大小，由于=-2，故自变量大小易比较，另一问题是函数的单调性，由于底数a的取值范围不确定，需对参数a的取值范围进行讨论以确定函数的单调性，在每一类下比较大小．
（3）由f（lga）=100知，alga-1=100，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得（lga-1）•lga=2，解此方程先求lga，再求a．
【解析】
（1）∵函数y=f（x）的图象经过P（3，4）
∴a3-1=4，即a2=4．（2分）
又a＞0，所以a=2．（4分）
（2）当a＞1时，；
当0＜a＜1时，．（6分）
因为，，f（-2.1）=a-3.1
当a＞1时，y=ax在（-∞，+∞）上为增函数，
∵-3＞-3.1，∴a-3＞a-3.1．
即．
当0＜a＜1时，y=ax在（-∞，+∞）上为减函数，
∵-3＞-3.1，∴a-3＜a-3.1．
即．（8分）
（3）由f（lga）=100知，alga-1=100．
所以，lgalga-1=2（或lga-1=loga100）．
∴（lga-1）•lga=2．
∴lg2a-lga-2=0，（10分）
∴lga=-1或lga=2，
所以，或a=100．（12分）