Question

（理）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意非零的实数a，b∈R，满足，，考查下列结论：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）为偶函数；
（3）数列{a_n}为等比数列； （4）数列{b_n}为等差数列．
其中正确的是    ．

Answer

给a、b赋值，使它们都等于1，再使它们分别等于-1，1，得到结论（1）正确，把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．
【解析】
∵取a=b=1，可得f（1）=0，
取a=-1，b=1，可得f（-1）=0，
∴f（-1）=f（1），
即（1）正确，
∵，
∴f（2n）=f（2•2n-1）
=
=
=…
=，
∴an=，bn=n
∴（1），（3），（4）都正确，由已知不能判断函数的奇偶性，故（2）错误．
故答案为：（1），（3），（4）．