Question

设数列{a_n}的前n项和为s_n，对任意的正整数n，都有a_n=5s_n+1成立，记．，
（Ⅰ）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：b_2k-1+b_2k＜8（k为正整数）；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为R_n，是否存在正整数k，使得R_k≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）令n等于1代入an=5sn+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用an=5sn+1表示出an+1，两个式子相减并利用Sn+1-Sn=an化简后即可得到 的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出bn的通项公式；
（Ⅱ）由（I）知由bn=4+，从而可证；
（Ⅲ）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=5a1+1，∴．又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1
∴an+1-an=5an+1，即，∴数列{an}成等比数列，其首项
∴
（II）证明：由（I）知由bn=4+，∴b2k-1+b2k=8+（-4）2k-1=8        
（Ⅲ）不存在正整数k，使得Rk≥4k成立．证明如下：
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），∴Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1＜8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有Rn＜4n，∴不存在正整数k，使得Rk≥4k成立．