Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：
（1）D₁E与平面BC₁D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer

（1）延长EB至F使BF=1，连接C1F，则C1F∥D1E，则C1F与平面BC1D所成角等于D1E与平面BC1D所成角θ，计算出F到BC1D的距离h．则sinθ=
（2）取BC1的中点H，连接DH，CH，则∠DHC为二面角D-BC1-C的平面角，在△DHC中利用余弦定理计算即可．
【解析】
（1）如图

延长EB至F使BF=1，连接C1F，则C1F∥D1E，则C1F与平面BC1D所成角等于D1E与平面BC1D所成角，设为θ，
设F到BC1D的距离为h．，则VC1-DBF=V F-C1BD∴S△DBF×CC1=S△DBC1×h，S△DBF=×BF×DA=1，
S△DBC1=×8=2，∴h=，sinθ=═
（2）取BC1的中点H，连接DH，CH，∵△DBC1为正三角形，BCC1为等腰直角三角形，∴DH⊥BC 1，CH⊥BC 1
∴∠DHC为二面角D-BC1-C的平面角，设为β，在△DHC中，=