Question

下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，求证：平面SAC⊥平面SBD，并求点A到平面SBD的距离．

Answer

（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．
（2）证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离．
【解析】
（1）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．
（2）⇒BD⊥SA
又BD⊥AC，AC∩SA=A
由线面垂直的判定定理，
BD⊥面SAC，又BD⊂面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD    
设O为底面中心，则 平面SAC∩平面SBD=SO                                                             
过A作AH⊥SO，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，
所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO2=SA2+AO2= =
   SA×AO=SO×AH，∴AH==