Question

已知函数（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象；
（2）若，求的值；
（3）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer

（1）利用二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据范围通过列表等画出函数的图象；
（2）根据求出sin（+）=，利用诱导公式求出的值；
（3）利用余弦定理求出B的值，确定出＜A+＜，然后求出函数f（A）的取值范围．
【解析】
（1）=
=2
由条件得，所以，（3分）
（1）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+）．
列表：

x+ -π - π π
x -π -π - π
y -1 1 3 1

描点作图，函数f（x）在[-π，π]上的图象如图所示．
（6分）
（2）由可得sin（+）=．∴cos（-x）=cos（x-）=-cos（x+）
=-[1-2sin2（+）]=2•（）2-1=-．（9分）
（3）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=，B=，∴0＜A＜．∴＜A+＜，＜sin（A+）≤1．
又∵f（x）=2sin（x+）+1，∴f（A）=2sin（A+）+1
故函数f（A）的取值范围是（2，3]．（14分）