Question

已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对∀x₁∈（1，+∞），∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

Answer

（Ⅰ）先根据（logax）2+（logxa）2=（logax+logxa）2-2=t2-2以及（logax）3+（logxa）3=（logax+logxa）[（logax+logxa）2-3]=t3-3t，即可求出h（t），；再求出其导函数，转化为研究h'（t）=-3t2+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，且h'（t）的值在根的左右两侧异号即可得到结论；
（Ⅱ）先把问题转化为x∈（1，+∞）时，f（x）max≤g（x）max，x∈[1，2]，；利用导函数研究出函数f（x）的单调性，并求出其最大值；再求出g（x）的最大值，两者相比即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵（logax）2+（logxa）2=（logax+logxa）2-2=t2-2，
（logax）3+（logxa）3=（logax+logxa）[（logax+logxa）2-3]=t3-3t，
∴h（t）=-t3+kt2+3t-2k，（t＞2）
∴h'（t）=-3t2+2kt+3
设t1，t2是h'（t）=0的两根，则t1t2＜0，
∴h'（t）=0在定义域内至多有一解，
欲使h（t）在定义域内有极值，只需h'（t）=-3t2+2kt+3=0在（2，+∞）内有解，
且h'（t）的值在根的左右两侧异号，
∴h'（2）＞0得
综上：当时h（t）在定义域内有且仅有一个极值，
当时h（t）在定义域内无极值
（Ⅱ）∵对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，
使f（x1）≤g（x2）等价于x∈（1，+∞）时，f（x）max≤g（x）max，x∈[1，2]，
又k=4时，h（t）=-t3+4t2+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t2+8t+3t∈（2，3）时，h'（t）＞0，
而t∈（3，+∞）时，h'（t）＜0
∴h（t）max=h（3）=10，

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